Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

1. Bentuk Pangkat

a. Definisi
Secara umum, bentuk bilangan berpangkat adalah :

$a^n = \underset{n \quad faktor}{a\times a \times \times ... \times a} \quad \textrm{dengan} \quad n>0 \quad \textrm{dan}\quad a \in R$

a disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut bilangan pangkat atau eksponen.

b. Sifat-sifat bilangan berpangkat
Untuk $a,b \in R$ dan $a \neq 0$ , serta $m , n \in R$ , berlaku :
(i) $a^m \times a^n = a^{m+n}$
(ii) $a^0 = 1$
(iii) $\left ( \frac{a}{b} \right )^n =\frac{a^n}{b^n}$ , $b\neq 0$
(iv) $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ a
(v)   $a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
(vi)   $\left ( a\times b \right )^n = a^n \times b^n$ a
(vii)   $\left ( a^m \right )^n = a^{m\cdot n}$

2. Bentuk Akar

a. Sifat - sifat operasi bilangan bentuk akar
Untuk $a, b \in R$ dan $a \geq 0, b \geq 0$ serta $m,n \in R$ , berlaku :
(i) $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
(ii) $p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a} = \left ( p + q \right )\sqrt[n]{a}$
(iii) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b\neq 0$
(iv) $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$
(v) $p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a} = \left ( p-q \right )\sqrt[n]{a}$
(vi) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

b. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
(i) $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$
(ii) $p\sqrt{a}\cdot q\sqrt{b} = pq\sqrt{ab}$
(iii) $a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c} =\left ( a\pm b \right )\sqrt{c}$
(iv) $\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$
(v) $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}, b \neq 0$
(vi) $\frac{c}{a+\sqrt{b}} = \frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} =\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^2-b}, a\neq \sqrt{b}$
(vii) $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} =\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}, a\neq b$

3. Logaritma

a. Definisi

$^a\log y = x \Leftrightarrow a^x = y$

dengan a = bilangan pokok atau basis, a > 1 atau 0 < a < 1, dan y = numerus, y > 0

b. Sifat-sifat logaritma
Untuk a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, $a \neq 1, b\neq 1$ , berlaku :
(i) $^a\log x = n \Rightarrow x = a^n$
(ii) $^a\log a = 1$
(iii) $^a\log 1 = 0$
(iv) $^a\log x \cdot ^x\log y = ^a\log y$
(v) $a^{ {}^a\log x} = x$
(vi) ${}^a\log x = \frac{{}^b\log x}{{}^b\log a}$
(vii) ${}^a\log x = \frac{1}{{}^x\log a}$
(viii) ${}^a\log x + {}^a\log y = {}^a\log (xy)$
(ix) ${}^a\log x - {}^a\log y = {}^a\log (\frac{x}{y})$
(x) ${}^a\log x^n = n\cdot {}^a\log x$

4. Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

a. Pertidaksamaan eksponen
(i) Untuk a > 1 , ( tanda pertidaksamaannya tetap)
- Jika a^f(x) > a^g(x), maka f(x) > g(x)
- Jika a^f(x) < a^g(x), maka f(x) < g(x)

(ii) Untuk 0 < a < 1, ( tnnda pertidaksamaannya berubah)
- Jika a^f(x) > a^g(x), maka f(x) < g(x)
- Jika a^f(x) < a^g(x), maka f(x) > g(x)

b. Pertidaksamaan logaritma
(i) Untuk a > 1, (tanda pertidaksamaannya tetap) ( syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 )
- Jika ^alog f(x) > ^alog g(x), maka f(x) > g(x)
- Jika ^alog f(x) < ^alog g(x), maka f(x) < g(x)

(ii) Untuk 0 < a < 1 , (tanda pertidaksamaannya berubah) ( syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 )
- Jika ^alog f(x) > ^alog g(x), maka f(x) < g(x)
- Jika ^alog f(x) < ^alog g(x), maka f(x) > g(x)

Fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers.

$f(x) = a^x \Rightarrow f^{-1} (x) = g(x) = {}^a\log x$

dengan f(x) : fungsi eksponen dan g(x) : fungsi logaritma
- Untuk a > 1

- Untuk 0 < a < 1

ILMU KITA

Search This Blog

Featured Post

THE SCHRÖDINGER EQUATION