Soal dan Pembahasan Turunan Trigonometri

Soal dan Pembahasan Turunan Trigonometri - Turunan trigonometri adalah topik yang sering diajarkan di pelajaran matematika, terutama di tingkat sekolah menengah. Dalam pelajaran ini, kita diberikan berbagai soal yang memerlukan pemahaman dan penerapan konsep turunan trigonometri. Salah satu contoh soal yang sering muncul adalah mencari turunan dari fungsi trigonometri, seperti mencari turunan dari sin(x) yang merupakan cos(x). Melalui pembahasan soal-soal ini, kita dapat memperdalam pemahaman tentang konsep turunan trigonometri.

Selain itu, turunan trigonometri juga memiliki aplikasi dalam pemecahan masalah nyata, terutama dalam bidang fisika dan rekayasa. Contohnya, turunan trigonometri digunakan untuk menghitung laju perubahan posisi benda yang mengalami gerak harmonik sederhana. Dalam konteks ini, pemahaman turunan trigonometri membantu kita memodelkan perubahan posisi benda terhadap waktu. Dengan menguasai konsep turunan trigonometri dan penerapannya, kita dapat mengoptimalkan pemecahan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri.

Dalam kesimpulannya, pemahaman dan penerapan turunan trigonometri memiliki peran penting dalam matematika. Dengan mempelajari soal dan pembahasan turunan trigonometri, kita dapat menguasai konsep ini dan menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata. Melalui contoh soal dan pembahasan, kita dapat memperdalam pemahaman tentang turunan trigonometri dan mengembangkan keterampilan matematika yang lebih baik.

Soal dan pembahasan turunan trigonometri -  Soal Nomor 1. Jika f(x) = -(cos²x - sin²x) maka f '(x) adalah ....
A. 2(sin x - cos x)
B. 2(cos x - sin x)
C. sin x cos x
D. 2 sin x cos x
E. 4 sin x cos x

Pembahasan :
$$\begin{align*} f(x) &= -(\cos ^2 x - \sin ^2 x), \quad \textrm{maka} \\ f'(x)  &=-(-2\cos x\sin x - 2\sin x \cos x) \\        &= 2(\cos x \sin x + \sin x \cos x) \\       &= 4\sin x \cos x \end{align*}$$

Jawaban : E


Soal Nomor 2. Jika f(x) = sin x cos x , maka f '($\frac{\pi}{6}$) = ....
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
D. 1
E. 0

Pembahasan :
$$\begin{align*} f(x) &= \sin x \cos x, \quad \textrm{maka} \\ f'(x)  &=\cos x \cos x - \sin x \sin x, \quad \textrm{akibatnya}, \\ f'(\frac{\pi}{6})      &= \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) -\left(\frac{1}{2} \right)\left(\frac{1}{2} \right) \\       &= \frac{1}{2} \end{align*}$$

Jawaban : A


Soal Nomor 3. Turunan pertama dari fungsi f(x) = $\frac{1+ \cos x}{\sin x}$ adalah f '(x) = ....
A. $\frac{1- \sin x}{\sin ^2x}$
B. $\frac{\sin x - 1}{\cos x - 1}$
C. $\frac{2}{\cos x + 1}$
D. $\frac{2}{\sin x - 1}$
E. $\frac{1}{\cos x - 1}$

Pembahasan :
$$\begin{align*} f(x) &= \frac{1+ \cos x}{\sin x}, \quad \textrm{maka} \\ f'(x)  &=\frac{-\sin x \sin x - (1+\cos x)(\cos x)}{\sin ^2x} \\          &=\frac{-1-\cos x}{1- \cos ^2x} \\         &= \frac{-(1+\cos x)}{(1-\cos x)(1+ \cos x)} \\       &= \frac{1}{\cos x -1} \end{align*}$$

Jawaban : E


Soal Nomor 4. f(x) = x sin 3x , maka f '($\frac{\pi}{4}$) sama dengan ....
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{3\pi}{4} \right)$
B. $\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\frac{3\pi}{4} \right)$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{3\pi}{4} \right)$
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\frac{3\pi}{4} -1 \right)$
E. $-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{3\pi}{4} \right)$

Pembahasan :
$$\begin{align*} f(x) &= x\sin 3x,   \\ \textrm{maka} \quad f'(x) &=\sin 3x + x(3\cos 3x)\quad \textrm{akibatnya}, \\  f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &=\sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)+\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(3\cos \frac{3\pi}{4}\right)  \\          &=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}\left(-\frac{3}{2}\sqrt{2}\right) \\          &= \frac{1}{2}\sqrt{2}\left(1-\frac{3\pi}{4}\right) \end{align*}$$

Jawaban : C



Soal Nomor 5. Jika f(x) = $\sqrt{1+\sin ^2x}$, 0 ≤ x ≤ π, maka $f'(x)\cdot f(x)$ sama dengan ....
A. $(1+ \sin ^2 x)\sin x \cos x$
B. $(1+ \sin ^2 x)$
C. $\sin x \cos x$
D. $\sin x$
E. $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
$$\begin{align*} f(x) &= \sqrt{1+\sin ^2x},   \\ \textrm{maka} \quad f'(x) &=\frac{2\sin x \cos x}{2\sqrt{1+\sin ^2x}}\quad \textrm{akibatnya}, \\  f'(x)\cdot f(x) &=\left(\frac{2\sin x \cos x}{2\sqrt{1+\sin ^2x}}\right)\left(\sqrt{1+\sin ^2x}\right)  \\          &= \sin x \cos x \end{align*}$$

Jawaban : C


Soal Nomor 6. Jika f(x) = 3 sin x + cos 3x, maka f '($\frac{1}{6}\pi$) =
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $-1\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2} + \sqrt{3}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{3}-3$

Pembahasan :
$$\begin{align*} f(x) &= 3\sin x + \cos 3x,   \\ \textrm{maka} \quad f'(x) &=3\cos x - 3 \sin 3x, \\  \textrm{maka} \quad f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &=3\cos \frac{\pi}{6 - 3\sin \frac{\pi}{2}}  \\          &= \frac{3}{2}\sqrt{3}-3 \end{align*}$$

Jawaban : E


Soal Nomor 7. Bila W = sin2t maka $\frac{dW}{dt}$ = ....
A. cos 2t
B. 2 cos 2t
C. sin 2t + t cos 2t
D. 2t cos 2t + sin 2t
E. sin 2t - t cos 2t

Pembahasan :

W = sin 2t, maka $\frac{dW}{dt}$ = 2 cos 2t


Jawaban : B


Soal Nomor 8. Jika y = 2 sin 3x - 3 cos 2x, maka $\frac{dy}{dx}$ = ....
A. 2 cos 3x - 3 sin 2x
B. 6 cos 3x - 3 sin 2x
C. 2 cos 3x + 3 sin 2x
D. 6 cos 3x + 6 sin 2x
E. -6 cos 3x - 6 sin 2x

Pembahasan :

y = 2 sin 3x - 3 cos 2x

maka $\frac{dy}{dx}$ = 6 cos 3x + 6 sin 2x

Jawaban : D


Soal Nomor 9. Jika r = $\sqrt{ \sin \theta}$, maka $\frac{dr}{d\theta}$ = ....
A. $\frac{1}{2\sqrt{\sin \theta}}$
B.  $\frac{\cos \theta}{2\sin \theta}$
C. $\frac{\cos \theta}{2\sqrt{\sin \theta}}$
D. $\frac{\sin \theta}{2\cos \theta}$
E. $\frac{2\cos \theta}{\sqrt{\sin \theta}}$

Pembahasan :

Diketahui : r = $\sqrt{ \sin \theta} = (\sin \theta)^{\frac{1}{2}}$, maka :

$$\begin{align*} \frac{dr}{d\theta} &= \frac{d}{d\theta}((\sin \theta)^{\frac{1}{2}}) \\ &= \frac{1}{2}(\sin \theta)^{-\frac{1}{2}}\cdot \cos \theta\\ &= \frac{1}{2\sqrt{\sin \theta}}\cdot \cos \theta \\ &= \frac{\cos \theta}{2\sqrt{\sin \theta}} \end{align*}$$

Jawaban : C


Soal Nomor 10. Turunan pertama dari fungsi y = (sin x + cos x )² adalah y' = ....
A. 0
B. 4 sin²x
C. 4 sin²x - 2
D. 4 cos²x - 2
E. 4 cos²x - 4

Pembahasan :

y = (sin x + cos x )² , maka :

$$\begin{align*} y' &= 2 (\sin x + \cos x)(\cos x - \sin x) \\ &=2(\cos^2 x - \sin ^2 x)\\ &= 2(\cos^2 x - 1 +\cos ^2 x)\\ &= 4 \cos ^2 x - 2 \end{align*}$$

Jawaban : D

Soal Nomor 11. Fungsi f(x) = $\left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x}\right)(1+ \cos x)$ mempunyai turunan ....

A. cos x
B. sin x
C. -cos x

D. -sin x
E. sin 2x

Pembahasan :

$$\begin{align*} f(x) &= \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} \right) (1+ \cos x) \\ &= \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) (1+ \cos x) \\ &= \left( \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right)(1+ \cos x) \\ &= \frac{1 - \cos ^2 x}{\sin x} \\ &= \frac{\sin ^2 x}{\sin x} \\ &= \sin x \end{align*}$$

Jadi f'(x) = cos x

Jawaban : A

Soal Nomor 12. Fungsi f(x) = a tan x + bx dan f'($\frac{\pi}{4}$) = 3,  f'($\frac{\pi}{3}$) = 9, maka a + b = ....

A. 0
B. 1
C. $\frac{\pi}{2}$

D. 2
E. π

Pembahasan :

f(x) = a tan x + bx maka f'(x) = a sec ² x + b

f'(π/4) = 3 , maka a sec ² (π/4) + b = 3

2a + b = 3 

b = 3 - 2a  .................................................... (1)

f'(π/3) = 9 , maka a sec ² (π/3) + b = 3

4a + b = 9 .................................................... (2)

Persamaan (1) di substitusi ke persamaan (2), sehingga :

$$\begin{align*} 4a + b &= 9 \\ 4a + (3-2a) &= 9 \\ 4a + 3 - 2a &= 9 \\ 3 +2a &= 9 \\ 2a &= 6 \\ a &= 3 \end{align*}$$

 karena a = 3, maka : 

$$\begin{align*} 4a + b &= 9 \\ 4\cdot 3 + b &= 9 \\ b &= -3 \end{align*}$$

Sehingga : a + b = 3 + (-3) = 0

Jawaban : A

-----