Imagine a particle of mass m, constrained to move along the x-axis, subject to some specified force F(x, t). The program of classical mechanics is to deter- mine the position of the particle at any given time: x(t). Once we know that, we can figure out the velocity (\( v=\frac{dx}{dt}\) ), the momentum (p = mv), the kinetic energy ( \( T=\frac{1}{2}mv^2 \) ), or any other dynamical variable of interest. And how do we go about determining x(t)? We apply Newton's second law: F = ma. (For conservative systems the only kind we shall consider, and, fortunately, the only kind that occur at the microscopic level---the force can be expressed as the derivative of a potential energy function, \( F=-\frac{\partial V}{\partial x} \) , and Newton's law reads \( m\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{\partial V}{\partial x} \) .) This, together with appropriate initial conditions (typically the position and velocity at t 0), determines x(t). Quantum mechanics approaches this same problem quite differentl...
Soal dan Pembahasan Turunan Trigonometri - Turunan trigonometri adalah topik yang sering diajarkan di pelajaran matematika, terutama di tingkat sekolah menengah. Dalam pelajaran ini, kita diberikan berbagai soal yang memerlukan pemahaman dan penerapan konsep turunan trigonometri. Salah satu contoh soal yang sering muncul adalah mencari turunan dari fungsi trigonometri, seperti mencari turunan dari sin(x) yang merupakan cos(x). Melalui pembahasan soal-soal ini, kita dapat memperdalam pemahaman tentang konsep turunan trigonometri.
Selain itu, turunan trigonometri juga memiliki aplikasi dalam pemecahan masalah nyata, terutama dalam bidang fisika dan rekayasa. Contohnya, turunan trigonometri digunakan untuk menghitung laju perubahan posisi benda yang mengalami gerak harmonik sederhana. Dalam konteks ini, pemahaman turunan trigonometri membantu kita memodelkan perubahan posisi benda terhadap waktu. Dengan menguasai konsep turunan trigonometri dan penerapannya, kita dapat mengoptimalkan pemecahan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri.
Dalam kesimpulannya, pemahaman dan penerapan turunan trigonometri memiliki peran penting dalam matematika. Dengan mempelajari soal dan pembahasan turunan trigonometri, kita dapat menguasai konsep ini dan menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata. Melalui contoh soal dan pembahasan, kita dapat memperdalam pemahaman tentang turunan trigonometri dan mengembangkan keterampilan matematika yang lebih baik.
A. 2(sin x - cos x)
B. 2(cos x - sin x)
C. sin x cos x
D. 2 sin x cos x
E. 4 sin x cos x
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= -(\cos ^2 x - \sin ^2 x), \quad \textrm{maka} \\
f'(x) &=-(-2\cos x\sin x - 2\sin x \cos x) \\
&= 2(\cos x \sin x + \sin x \cos x) \\
&= 4\sin x \cos x
\end{align*}
Jawaban : E
Soal Nomor 2. Jika f(x) = sin x cos x , maka f '(\( \frac{\pi}{6}\)) = ....
A. \( \frac{1}{2} \)
B. \( \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
C. \( \frac{1}{2}\sqrt{2}\)
D. 1
E. 0
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= \sin x \cos x, \quad \textrm{maka} \\
f'(x) &=\cos x \cos x - \sin x \sin x, \quad \textrm{akibatnya}, \\
f'(\frac{\pi}{6}) &= \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) -\left(\frac{1}{2} \right)\left(\frac{1}{2} \right) \\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}
Jawaban : A
Soal Nomor 3. Turunan pertama dari fungsi f(x) = \( \frac{1+ \cos x}{\sin x}\) adalah f '(x) = ....
A. \( \frac{1- \sin x}{\sin ^2x} \)
B. \( \frac{\sin x - 1}{\cos x - 1} \)
C. \( \frac{2}{\cos x + 1} \)
D. \( \frac{2}{\sin x - 1}\)
E. \(\frac{1}{\cos x - 1} \)
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= \frac{1+ \cos x}{\sin x}, \quad \textrm{maka} \\
f'(x) &=\frac{-\sin x \sin x - (1+\cos x)(\cos x)}{\sin ^2x} \\
&=\frac{-1-\cos x}{1- \cos ^2x} \\
&= \frac{-(1+\cos x)}{(1-\cos x)(1+ \cos x)} \\
&= \frac{1}{\cos x -1}
\end{align*}
Jawaban : E
Soal Nomor 4. f(x) = x sin 3x , maka f '(\( \frac{\pi}{4}\)) sama dengan ....
A. \( \frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{3\pi}{4} \right)\)
B. \( \frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\frac{3\pi}{4} \right)\)
C. \( \frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{3\pi}{4} \right)\)
D. \( \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\frac{3\pi}{4} -1 \right) \)
E. \( -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{3\pi}{4} \right) \)
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= x\sin 3x, \\
\textrm{maka} \quad f'(x) &=\sin 3x + x(3\cos 3x)\quad \textrm{akibatnya}, \\
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &=\sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)+\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(3\cos \frac{3\pi}{4}\right) \\
&=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}\left(-\frac{3}{2}\sqrt{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}\sqrt{2}\left(1-\frac{3\pi}{4}\right)
\end{align*}
Jawaban : C
Soal Nomor 5. Jika f(x) = \( \sqrt{1+\sin ^2x}\), 0 ≤ x ≤ π, maka \( f'(x)\cdot f(x)\) sama dengan ....
A. \( (1+ \sin ^2 x)\sin x \cos x\)
B. \( (1+ \sin ^2 x)\)
C. \( \sin x \cos x \)
D. \( \sin x\)
E. \( \frac{1}{2}\)
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= \sqrt{1+\sin ^2x}, \\
\textrm{maka} \quad f'(x) &=\frac{2\sin x \cos x}{2\sqrt{1+\sin ^2x}}\quad \textrm{akibatnya}, \\
f'(x)\cdot f(x) &=\left(\frac{2\sin x \cos x}{2\sqrt{1+\sin ^2x}}\right)\left(\sqrt{1+\sin ^2x}\right) \\
&= \sin x \cos x
\end{align*}
Jawaban : C
Soal Nomor 6. Jika f(x) = 3 sin x + cos 3x, maka f '(\( \frac{1}{6}\pi \)) =
A. \( \frac{1}{2}\)
B. \( -\frac{1}{2}\)
C. \( -1\frac{1}{2}\)
D. \( -\frac{1}{2} + \sqrt{3}\)
E. \( \frac{3}{2}\sqrt{3}-3\)
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= 3\sin x + \cos 3x, \\
\textrm{maka} \quad f'(x) &=3\cos x - 3 \sin 3x, \\
\textrm{maka} \quad f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &=3\cos \frac{\pi}{6 - 3\sin \frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{3}{2}\sqrt{3}-3
\end{align*}
Jawaban : E
Soal Nomor 7. Bila W = sin2t maka \( \frac{dW}{dt} \) = ....
A. cos 2t
B. 2 cos 2t
C. sin 2t + t cos 2t
D. 2t cos 2t + sin 2t
E. sin 2t - t cos 2t
Pembahasan :
W = sin 2t, maka \( \frac{dW}{dt} \) = 2 cos 2t
Jawaban : B
Soal Nomor 8. Jika y = 2 sin 3x - 3 cos 2x, maka \( \frac{dy}{dx} \) = ....
A. 2 cos 3x - 3 sin 2x
B. 6 cos 3x - 3 sin 2x
C. 2 cos 3x + 3 sin 2x
D. 6 cos 3x + 6 sin 2x
E. -6 cos 3x - 6 sin 2x
Pembahasan :
y = 2 sin 3x - 3 cos 2x
maka \( \frac{dy}{dx} \) = 6 cos 3x + 6 sin 2x
Jawaban : D
Soal Nomor 9. Jika r = \( \sqrt{ \sin \theta}\), maka \( \frac{dr}{d\theta}\) = ....
A. \( \frac{1}{2\sqrt{\sin \theta}}\)
B. \( \frac{\cos \theta}{2\sin \theta}\)
C. \( \frac{\cos \theta}{2\sqrt{\sin \theta}}\)
D. \( \frac{\sin \theta}{2\cos \theta}\)
E. \( \frac{2\cos \theta}{\sqrt{\sin \theta}}\)
Pembahasan :
Jawaban : D
Soal Nomor 9. Jika r = \( \sqrt{ \sin \theta}\), maka \( \frac{dr}{d\theta}\) = ....
A. \( \frac{1}{2\sqrt{\sin \theta}}\)
B. \( \frac{\cos \theta}{2\sin \theta}\)
C. \( \frac{\cos \theta}{2\sqrt{\sin \theta}}\)
D. \( \frac{\sin \theta}{2\cos \theta}\)
E. \( \frac{2\cos \theta}{\sqrt{\sin \theta}}\)
Pembahasan :
Diketahui : r = \( \sqrt{ \sin \theta} = (\sin \theta)^{\frac{1}{2}}\), maka :
\begin{align*} \frac{dr}{d\theta} &= \frac{d}{d\theta}((\sin
\theta)^{\frac{1}{2}}) \\ &= \frac{1}{2}(\sin
\theta)^{-\frac{1}{2}}\cdot \cos \theta\\ &= \frac{1}{2\sqrt{\sin
\theta}}\cdot \cos \theta \\ &= \frac{\cos \theta}{2\sqrt{\sin \theta}}
\end{align*}
Jawaban : C
Soal Nomor 10. Turunan pertama dari fungsi y = (sin x + cos x )2 adalah y' = ....
A. 0
B. 4 sin²x
C. 4 sin²x - 2
D. 4 cos²x - 2
E. 4 cos²x - 4
Pembahasan :
y = (sin x + cos x )2 , maka :
\begin{align*} y' &= 2 (\sin x + \cos x)(\cos x - \sin x) \\
&=2(\cos^2 x - \sin ^2 x)\\ &= 2(\cos^2 x - 1 +\cos ^2 x)\\ &= 4
\cos ^2 x - 2 \end{align*}
Jawaban : D
Soal Nomor 11. Fungsi f(x) = \( \left( \frac{1}{\sin x} -
\frac{1}{\tan x}\right)(1+ \cos x) \) mempunyai turunan ....
A. cos x
B. sin x
C. -cos x
B. sin x
C. -cos x
D. -sin x
E. sin 2x
Pembahasan :
E. sin 2x
Pembahasan :
\begin{align*}
f(x) &= \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} \right) (1+ \cos x) \\
&= \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) (1+ \cos x) \\
&= \left( \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right)(1+ \cos x) \\
&= \frac{1 - \cos ^2 x}{\sin x} \\
&= \frac{\sin ^2 x}{\sin x} \\
&= \sin x
\end{align*}
Jadi f'(x) = cos x
Jawaban : A
Soal Nomor 12. Fungsi f(x) = a tan x + bx dan f'(\( \frac{\pi}{4}\)) = 3, f'(\( \frac{\pi}{3}\)) = 9, maka a + b = ....
A. 0
B. 1
C. \( \frac{\pi}{2}\)
B. 1
C. \( \frac{\pi}{2}\)
D. 2
E. π
E. π
Pembahasan :
f(x) = a tan x + bx maka f'(x) = a sec ² x + b
f'(π/4) = 3 , maka a sec ² (π/4) + b = 3
2a + b = 3
b = 3 - 2a .................................................... (1)
f'(π/3) = 9 , maka a sec ² (π/3) + b = 3
4a + b = 9 .................................................... (2)
Persamaan (1) di substitusi ke persamaan (2), sehingga :
\begin{align*}
4a + b &= 9 \\
4a + (3-2a) &= 9 \\
4a + 3 - 2a &= 9 \\
3 +2a &= 9 \\
2a &= 6 \\
a &= 3
\end{align*}
karena a = 3, maka :
\begin{align*} 4a + b &= 9 \\ 4\cdot 3 + b &= 9 \\ b &= -3 \end{align*}
Sehingga : a + b = 3 + (-3) = 0
Jawaban : A
-----
Comments
Post a Comment