Soal dan Pembahasan Tentang Gerak Harmonik

Soal Nomor 1
Sebuah benda yang bergetar harmonik selalu mempunyai ....
A. kecepatan terbesar pada simpangan terkecil
B. kecepatan yang konstan
C. simpangan yang berbanding lurus dengan gaya pergeseran
D. amplitudo kecil
E. kecepatan terbesar pada saat simpangan terbesar

Soal Nomor 2

Sebuah pegas digantungkan beban m. Jika y adalah pertambahan panjang pegas, periode benda saat pegas bergetar harmonik adalah ....

A. $2\pi\sqrt{\frac{mg}{y}}$

B. $\pi\sqrt{\frac{mg}{y}}$

C. $2\pi\sqrt{\frac{y}{g}}$

D. $\frac{1}{y}\sqrt{mg}$

E. $\pi m\sqrt{\frac{g}{y}}$

Pembahasan :

$$\begin{align*} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \frac{2\pi}{T} &= \sqrt{\frac{\frac{mg}{y}}{m}} \\ T&= 2\pi \sqrt{\frac{y}{g}} \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 3

Sebuah benda bergetar harmonik dengan amplitudo A. Pada saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimum, maka besar simpangannya adalah ....

A. $\sqrt{3}A$

B. $\sqrt{2}A$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}A$

D. $\frac{1}{2}\sqrt{2}A$

E. $\frac{1}{3}\sqrt{3}A$

Pembahasan :

$$\begin{align*} v &= \frac{1}{2}v_{maks} \\ A\omega \cos (\omega t) &= \frac{1}{2}A\omega \\ \cos (\omega t)&= \frac{1}{2} \\ \end{align*}$$

Karena cos (ωt) =$\frac{1}{2}$. maka sin (ωt) = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$, sehingga simpangannya :

$$\begin{align*} y &= A\sin (\omega t) \\ y &= \frac{1}{2}\sqrt{3}A \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 4

Energi mekanik benda yang bergetar harmonik sebanding dengan .... 

A. amplitudo 

B. frekuensi 

C. periode 

D. akar amplitudo 

E. kuadrat amplitudo 

Soal Nomor 5

Sebuah partikel bergetar harmonik dengan periode 6 s dan amplitudo 10 cm. Kelajuan partikel pada saat berada 5 cm dari titik setimbangnya adalah ....

A. 7,19 cm/s 

B. 9,06 cm/s 

C. 10,07 cm/s 

D. 11,07 cm/s 

E. 19,12 cm/s 

Pembahasan :

Kecepatan sudut gerak harmonik :

$$\begin{align*} \omega &= \frac{2\pi}{T} \\ &= \frac{2\pi}{6} \\ &= \frac{1}{3}\pi \end{align*}$$

Simpangan partikel :

$$\begin{align*} y &=A\sin (\omega t) \\ 5 &= 10 \sin (\omega t) \\ \sin (\omega t)&= \frac{1}{2} \end{align*}$$

Sehingga nilai cos (ωt) = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

Besar kelajuan partikel :

$$\begin{align*} v &=A\omega \cos (\omega t) \\ &= 10\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= 9,06 \quad \textrm{cm/s} \end{align*}$$

Jawaban : B

Soal Nomor 6

Persamaan simpangan suatu partikel yang bergetar harmonik adalah y = 5 sin 2t, dengan t dalam sekon dan y dalam meter. Besar percepatan partikel yang bergetar saat simpangannya 5 m adalah ....

A. -20 m/s²

B. -10 m/s²

C. nol 

D. 10 m/s²

E. 20 m/s²

Pembahasan :

Saat simpangan 5 m, maka :

$$\begin{align*} y &=5 \sin 2t \\ 5 &= 5 \sin 2t \\ \sin 2t &= 1 \end{align*}$$

Besar percepatan partikel saat itu :

$$\begin{align*} y &=5 \sin 2t \\ v &= \frac{d}{dt}(5 \sin 2t) \\ &= 10 \cos 2t \\ a &= \frac{d}{dt}(10 \cos 2t )\\ &= -20 \sin 2t \\ &= -20 \quad \textrm{m/s}^2 \end{align*}$$

Jawaban : A

Soal Nomor 7

Sebuah pegas dengan konstanta 100 N/m digantungi beban 1 kg. Periode getaran pegas adalah .... 

A. 20 s

B.  $\frac{1}{20}$ s

C.  $\frac{\pi}{5}$ s

D.  $\frac{5}{\pi}$ s

E.   $\frac{\pi}{2}$ s

Pembahasan :

$$\begin{align*} \omega &=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \frac{2\pi}{T} &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ T &= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\\ &= 2\pi \sqrt{\frac{1}{100}}\\ &= \frac{\pi}{5} \quad \textrm{s} \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 8

Sebuah bandul matematis dengan beban 1 kg memiliki periode 1 s. Jika beban diganti menjadi 2 kg, periodenya menjadi .... 

A. 4 s

B. 2 s

C. 1 s

D. $\frac{1}{2}$ s

E. $\frac{1}{4}$ s

Pembahasan :

Menggunakan persamaan : $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ maka besar periode tidak tergantung massa benda.

Jawaban : C

Soal Nomor 9

Sebuah benda bergetar harmonik dengan frekuensi 10 Hz. Setelah 25 s, benda bergetar ....

A. 250 kali 

B. 25 kali 

C. $\frac{2}{5}$ kali 

D. $\frac{1}{4}$ kali

E. $\frac{1}{8}$ kali 

Pembahasan :

$$\begin{align*} f &=\frac{n}{t} \\ 10 &= \frac{n}{25} \\ n &= 250 \quad \textrm{kali} \end{align*}$$

Jawaban : A

Soal Nomor 10

Sebuah partikel bergetar dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 10 cm. Kecepatan partikel pada saat simpangannya 8 cm adalah ....

A. 30π cm/s 

B. 60π cm/s 

C. 80π cm/s 

D. 60 cm/s

E. 80 cm/s

Pembahasan :

frekuensi sudut partikel :

$$\begin{align*} \omega &=2\pi f \\ &= 2\pi \cdot 5 \\ &= 10\pi \quad \textrm{rad/s} \end{align*}$$

Saat simpangannya 8 cm :

$$\begin{align*} y &=A \sin (\omega t) \\ 8 &= 10 \sin (10\pi t) \\ \sin (10\pi t) &= 0,8 \end{align*}$$

Karena sin (10πt) = 0,8 maka cos(10πt) = 0,6 , sehingga kecepatan partikelnya :

$$\begin{align*} y &=10 \sin (10\pi t) \\ v &= \frac{dy}{dt} \\ &= \frac{d}{dt} (10 \sin (10\pi t)) \\ &= 100\pi \cos (10\pi t) \\ &= 100\pi \cdot 0,6 \\ &= 60\pi \quad \textrm{cm/s} \end{align*}$$

Jawaban : B

Soal Nomor 11

Pertambahan panjang pegas ketika digantungi beban 500 g adalah 10 cm. Jika g = 10 m/s², besar periode getaran pegas adalah ....

A. 0,2π s

B. 0,4π s

C. 0,5π s

D. π s

E. 2π s

Pembahasan :

Diketahui :

m = 500 g = 0,5 kg

Δx = 10 cm = 0,1 m

g = 10 m/s²

F = mg = 0,5 x 10 = 5 N

Ditanyakan : T = ?

Besar konstanta pegas :

$$\begin{align*} F &=k \Delta x \\ 5 &= k\cdot 0,1 \\ k &= 50 \quad \textrm{N/m} \end{align*}$$

Periode pegas :

$$\begin{align*} T &=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{0,5}{50}} \\ &= 0,2\pi \quad \textrm{s} \end{align*}$$

Jawaban : A

Soal Nomor 12

Sebuah partikel bergetar harmonik dengan periode 0,25 s. Jika amplitudo 10 cm, kelajuan maksimum partikel adalah .... 

A. 0,025π cm/s 

B. 2,5π cm/s 

C. 80π cm/s 

D. 0,025 cm/s 

E. 80 cm/s 

Pembahasan :

Frekuensi sudut partikel :

$$\begin{align*} \omega &=\frac{2\pi}{T} \\ &= \frac{2\pi}{0,25} \\ &= 8\pi \quad \textrm{rad/s} \end{align*}$$

Kecepatan maksimum partikel :

$$\begin{align*} v_{maks} &=A\omega \\ &= 10 \cdot 8\pi \\ &= 80\pi \quad \textrm{cm/s} \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 13

Sebuah partikel melakukan getaran harmonik dengan amplitudo 20 cm. Besar simpangan partikel pada saat energi potensialnya sama dengan energi kinetiknya adalah ....

A.  $10\sqrt{3}$ cm

B.  $10\sqrt{2}$ cm

C. 10 cm

D. 7,5 cm 

E. 5 cm 

Pembahasan :

$$\begin{align*} Ep &=Ek \\ \frac{1}{2}ky^2&= \frac{1}{2}mv^2 \\ \frac{k}{m}y^2&= v^2 \\ \omega ^2 y^2 &= v^2 \\ \omega y &= v \\ \omega y &= A\omega \cos (\omega t )\\ A\sin(\omega t) &= A \cos (\omega t )\\ \frac{\sin(\omega t)}{\cos (\omega t )} &=1 \\ \tan (\omega t) &= 1 \\ \omega t &= 45^o \end{align*}$$

Sehingga besar simpangannya :

$$\begin{align*} y &= A \sin (\omega t )\\ &= 20 \sin (45^o )\\ &=20\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= 10\sqrt{2} \quad \textrm{cm} \end{align*}$$

Jawaban : B

Soal Nomor 14

Panjang sebuah bandul 40 cm. Bandul disimpangkan dengan sudut simpangan 10o di suatu tempat yang percepatan gravitasinya 10 m/s2. Periode ayunan bandul adalah ....

A. 4π s

B. 2π s

C. 0,4π s

D. 0,2π s

E. 0,1π s

Pembahasan :

$$\begin{align*} T &= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{0,4}{10}}\\ &=2\pi \cdot 0,2 \\ &= 0,4\pi \quad \textrm{s} \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 15

Berdasarkan persamaan getaran harmonik y = (20 sin 10πt) cm, besar amplitudo dan frekuensinya adalah ....

A. A = 5 cm dan f = 5 Hz 

B. A = 10 cm dan f = 10 Hz

C. A = 20 cm dan f = 5 Hz

D. A = 20 cm dan f =  20 Hz

E. A = 20 cm dan f = 10 Hz

Pembahasan :

$$\begin{align*} y &=A\sin (\omega t)\\ &=20\sin(10\pi t) \end{align*}$$

Amplitudo A = 20 cm.

Frekuensi :

$$\begin{align*} \omega &=2\pi f\\ 10\pi &=2\pi f \\ f &= 5 \quad \textrm{Hz} \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 16

Besar simpangan sebuah partikel yang bergetar harmonik dari pegas dengan amplitudo $\sqrt{2}$ cm saat energi kinetiknya dua kali energi potensialnya adalah .... 

A. $\frac{1}{3}\sqrt{6}$ cm

B.  $\frac{1}{2}\sqrt{6}$ cm

C.  $\sqrt{2}$ cm

D. 1 cm

E.  $\sqrt{6}$ cm

Pembahasan :

$$\begin{align*} Ep &=\frac{1}{2}Ek \\ \frac{1}{2}ky^2 &= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}mv^2 \\ \frac{k}{m}y^2 &= \frac{1}{2}v^2 \\ \omega ^2 y^2 &= \frac{1}{2}v^2 \\ \omega y &= \frac{1}{\sqrt{2}} v \\ \omega y &= \frac{1}{\sqrt{2}}A\omega \cos (\omega t )\\ A\sin(\omega t) &= \frac{1}{\sqrt{2}}A \cos (\omega t )\\ \frac{\sin(\omega t)}{\cos (\omega t )} &=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \tan (\omega t) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}$$

Menggunakan pitagoras :

$$\begin{align*} r &=\sqrt{a^2 + b^2}\\ r &=\sqrt{\sqrt{2}^2 + 1^2}\\ r &= \sqrt{3} \end{align*}$$

Maka $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{3}}$  dan $\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Sehingga besar simpangannya :

$$\begin{align*} y &= A \sin (\omega t )\\ &= \sqrt{2} \sin (\omega t )\\ &=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{3}\sqrt{6} \quad \textrm{cm} \end{align*}$$

Jawaban : A

Soal Nomor 17

Sebuah benda melakukan getaran harmonik dengan persamaan simpangan y = (10 sin πt) cm. Besar kecepatan getaran benda setelah  s adalah ....

A. -10π cm/s 

B. -10π cm/s 

C. -5π cm/s 

D. 5π cm/s 

E. 10π cm/s 

Pembahasan :

$$\begin{align*} y &= 10 \sin (\pi t )\\ v &= \frac{dy}{dt}\\ &=\frac{d}{dt}(10 \sin (\pi t ))\\ &= 10\pi\cos (\pi t) \\ &= 10\pi\cos (\pi \cdot \frac{3}{4}) \\ &= 10\pi\cos (\frac{3}{4}\pi ) \\ &= -10\pi\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &= -5\pi\sqrt{2} \quad \textrm{cm/s} \end{align*}$$

Jawaban : C

Soal Nomor 18

Sebuah benda bermassa 10 g, bergetar harmonik dengan periode 0,1π s, amplitudo 10 cm. Energi kinetik benda tersebut saat simpangannya 5 cm adalah ....

A. 3 x 10^-2 J

B. 2,5 x 10^-2 J

C. 2 x 10^-2 J

D. 1,5 x 10^-2 J

E. 1 x 10^-2 J

Pembahasan :

Kecepatan sudut benda :

$$\begin{align*} \omega &= \frac{2\pi}{T} \\ &= \frac{2\pi}{0,1\pi} \\ &= 20 \quad \textrm{rad/s} \end{align*}$$

Persamaan simpangan benda :

$$\begin{align*} y &= A\sin (\omega t) \\ &= 0,1\sin (20t) \end{align*}$$

Saat simpangan 5 cm :

$$\begin{align*} y &= 10\sin (20t) \\ 0,05 &= 0,1\sin (20t) \\ \sin (20t) &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$$

Maka cos (20t) = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Besar kecepatan benda :

$$\begin{align*} v &= \frac{dy}{dt}\\ &=\frac{d}{dt}(0,1 \sin (20t ))\\ &= 2\cos (20t) \\ &= 2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= \sqrt{3} \quad \textrm{m/s} \end{align*}$$

Besar energi kinetik :

$$\begin{align*} Ek &= \frac{1}{2}mv^2\\ &= \frac{1}{2}\cdot 0,01 \cdot (\sqrt{3})^2\\ &=0,015 \quad \textrm{J} \\ &= 1,5 \times 10^{-2} \quad \textrm{J} \\ \end{align*}$$

Jawaban : D

Soal Nomor 19

Seutas tali bergetar harmonik menurut persamaan y = (10 sin 628t) cm. Frekuensi getaran tali adalah .... 

A. 100 Hz 

B. 80 Hz 

C. 60 Hz 

D. 50 Hz 

E. 25 Hz 

Pembahasan :

$$\begin{align*} y &= (10\sin 628t)\\ \omega &= 628\\ 2\pi f&= 628\\ 2\cdot 3,14 \cdot f &= 628 \\ 6,28f &= 628 \\ f &= 100 \quad \textrm{Hz} \end{align*}$$

Jawaban : A

Soal Nomor 20

Sebuah partikel bergetar harmonik dengan periode 0,1 s dan amplitudo 1 cm. Kelajuan partikel saat berada 0,6 cm dari titik setimbangnya adalah .... 

A. 4π cm/s 

B. 8π cm/s 

C. 16π cm/s 

D. 8 cm/s 

E. 16 cm/s 

Pembahasan :

$$\begin{align*} \omega &= \frac{2\pi}{T}\\ &= \frac{2\pi}{0,1}\\ &= 20\pi \quad \textrm{rad/s} \end{align*}$$

Persamaan simpangan partikel :

$$\begin{align*} y &= A\sin (\omega t) \\ &= 1\sin (20\pi t) \\ &= \sin (20\pi t) \end{align*}$$

Saat berada 0,6 cm dari titik setimbang :

$$\begin{align*} y &= \sin (20\pi t) \\ 0,6 &= \sin (20\pi t) \\ \cos (20\pi t) &= 0,8 \end{align*}$$

Kelajuan partikel saat berada 0,6 cm dari titik setimbang : 

$$\begin{align*} v &= \frac{dy}{dt}\\ &=\frac{d}{dt}(\sin (20\pi t ))\\ &= 20\pi\cos (20\pi t) \\ &= 20\pi\cdot 0,8 \\ &= 16\pi \quad \textrm{cm/s} \end{align*}$$

Jawaban : C